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摘 要：將板料的激光三維成形視為V形激光彎曲成形的復合，分析了曲面筒形件與V形彎曲件的幾何相關性，建立了用點坐標表示的弧面曲率表達式。以工件的曲率半徑為優化目標，有限元軟件包ls-dyna3D作為目標函數解算器，并結合遺傳算法，求出了優化的工藝參數及其各成形瞬時的位移場, 并與實驗進行了對照。
關鍵詞：板料；激光成形；三維；工藝優化
1．引言
板料激光成形的基本形式是成形V形彎曲件[1]，但在實際生產中，大量的是具有三維形狀的異形件。因此，激光三維成形逐漸成為該領域的研究熱點和趨勢[2,3]。激光三維成形可以視為簡單彎曲成形的組合，同一塊板料上不同走向、不同角度、不同長度的多個彎曲成形可以使板料成形為復雜的三維形狀。文中采用漸進式激光成形的方法，通過多次V形彎曲，得到了符合要求的筒形件。
2.幾何相關性分析
用激光成形正多面體筒形件，可以看作板料的多次激光彎曲，此時掃描軌跡為一系列相互平行的直線。從圖1可以看出，筒形件的高取決于成形前板料的寬度，多面體的邊長取決于兩次掃描線的間距L,每次掃描的成形角度決定了多面體的邊數，其中邊數和成形角度存在如下關系：
圖1 筒形件成型幾何相關性示意圖
其中，n為多面體的邊數，а為沿同一位置進行掃描的成形角度。因此，選取合適寬度的板料，精確控制掃描的間距和在每個位置掃描的成形角度，可以成形任意高度，任一邊數n和邊長L的多面體筒形件。
激光成形不僅可以成形由平面V形彎曲構成的三維形狀，合理地控制激光成形的工藝參數和掃描路徑，還可以成形更復雜的曲面。和機械彎曲一樣，激光彎曲成形也存在一個彎曲半徑的問題。在用模具進行V形彎曲時，為了保證材料不發生斷裂等缺陷，必須保證相對彎曲半徑大于板料的最小相對彎曲半徑。因此使用模具彎曲成形的工件，彎曲角度的頂端不是尖銳的，而是有一定的曲率半徑的圓弧。激光彎曲成形在加熱狀態下進行，相對彎曲半徑可比機械彎曲更小一些。但是由于成形板料始終只受熱應力作用，不受外界的約束，在整個變形區形成光滑的曲線過渡，而不是成形一個尖銳的角，曲率半徑較機械彎曲反而可以更大一點兒。我們把激光彎曲成形的圓弧區定義為變形區，它是以激光的掃描路徑為中心的帶狀區域。可以利用該變形區的曲率半徑擬合三維曲面的曲率半徑，以成形三維曲面形狀。顯然，當掃描間距L大于變形區時，兩次掃描路線之間有一段板料沒有發生變形，保持板料原有的平面，而變形區則形成了棱邊；當掃描間距小于變形區時，兩次掃描的變形區相互影響、相互疊加形成了光滑的曲面。
激光成形的彎曲半徑可以直接在試樣上測得，也可以根據數值模擬的結果，用數學的手段求得。下面對求解過程進行簡單的推導。曲率 表示了一段曲線y=f(x)的彎曲程度，它被定義為一段圓弧的切線轉角△α和圓弧的長度△s的比值，記作
被稱為這段曲線的平均曲率。當△s→0時，如果平均曲率的極限存在，則稱此極限為曲線y=f(x)在該點的曲率，記作
曲率半徑被定義為曲率的倒數，
在數值模擬中，首先提取板料變形區內的一系列長度方向上相鄰節點的坐標（xn, yn），然后利用數值微分公式求得y'n，y"n，進而求得各點的曲率半徑R，取平均值作為板料的彎曲半徑。
3 用激光成形三維曲面及其加工工藝優化
由于激光成形的變形區在微觀上呈現為具有一定彎曲半徑和一定寬度的帶狀小曲面，因此，可以通過控制激光成形的工藝參數，以改變變形區的曲率半徑和寬度，將不同曲率半徑的小曲面組合起來就可以構成不同的三維曲面形狀。
激光成形三維曲面的基本思路，是利用激光成形時變形區的形狀特點，首先通過幾何相關性研究，將要成形的三維曲面形狀，分解為一系列激光彎曲可以成形的小曲面；然后制定相應的成形工藝，控制變形區的平均曲率半徑，使之與要成形的三維曲面的曲率半徑一致。每一次掃描可以成形部分曲面，通過多次掃描，采用漸進成形的方法，得到的要求的整個三維形狀。 由此可見，激光成形三維曲面形狀精度，主要是由激光成形的彎曲半徑決定。激光成形的彎曲半徑與待成形的三維曲面的曲率半徑越接近，成形精度越高。為控制激光成形的彎曲半徑，將該曲率半徑作為目標函數，采用遺傳優化算法，對激光成形的工藝參數進行優化求解。
曲率半徑的優化模型如下：
目標函數：
約束條件：T(P,D,V)max
式中 R——一組優化參數所對應的激光彎曲成形的彎曲半徑
R0——工藝要求的筒形件半徑
P——激光功率，（W）
D——光斑直徑，（mm）
V(mm/s)為掃描速度，(mm/s)
Tmax——成形過程中板料上的溫度峰值，同樣是工藝參數的函數
T——板料微觀組織不被破壞時的最高溫度
當然，R取決于變形量，它是很多工藝參數的函數，此處僅考慮主要工藝參數P、D、V。設計變量P、D、V的取值約束由具體的加工條件決定。
采用優化算法對上述的優化模型進行求解[4-6]，其中數值計算采用了有限元軟件包ls-dyna3D,優化流程見圖2。 用優化得到的工藝參數進行彎曲成形，其彎曲半徑與工藝要求一致。至此，我們就可以基于三維曲面的幾何相關性分析，將三維曲面分解為激光可以成形的小曲面；然后采用上述的優化方法得到成形小曲面的工藝參數，進行多次掃描加工，最終成形工藝要求的三維曲面形狀。
圖2. 工藝優化計算流程
4 成形工藝制定算例
應用上述方法，對08F薄鋼板試樣利用激光彎曲成形制作弧面圓筒件。板料寬度為50mm，厚為2mm，弧面圓筒件的半徑為600mm。
4.1幾何相關性分析和工藝路線的確定
圓筒形工件的幾何形狀比較簡單,由于各處的曲率半徑相同，可以將其分割成一系列等寬度、等曲率半徑的條形曲面，然后進行漸進成形，反映在成形工藝上就是在金屬板料上進行多次沿平行直線的掃描，將激光成形變形區依次拼接起來構成圓筒件。其工藝參數就是成形的彎曲半徑等于圓筒件半徑時的工藝參數，它可由前述優化算法求得；掃描間距由每次成形時變形區的寬度決定,變形區的寬度可以根據成形的角度和彎曲半徑求得，其關系式為
l = R * α
式中 l——變形區的寬度
R——彎曲半徑
α——成形角度
4.2工藝參數的優化和加工工藝的制定
采用前述優化模型，優化激光成形的工藝參數，使激光彎曲成形的彎曲半徑等于成形工件的曲率半徑600mm。由于長度方向尺寸對激光成形的影響不大，因此，優化求解時板料長度方向的尺寸只要略大于激光成形的熱影響區即可，在本例中取80mm。優化變量的取值范圍如下：
P： 100～3000 （W）
D： 1.0～10.0 （mm）
V： 10～1000 （mm/s）
且T(P,D,V)max<1000℃
優化得到的最佳工藝參數為P=1255.3W，D=3.176mm，V=51.4mm/s，對應的彎曲半徑為599.068mm，非常接近目標值，能夠滿足工藝要求。
得到了一次成形的工藝參數就可以制定整個圓筒件的加工工藝，每步的工藝參數為P=1255.3W、D=3.176mm、V=51.4mm/s，掃描間隔由式（1）求得，為5.8mm。為保證優化計算時和實際加工時溫度傳遞條件相同，在實際加工時，初始掃描位置離開板料的邊緣一段距離。以此工藝參數在寬為60mm的板料上進行平行直線掃描，直到完全成形圓筒件為止。圖3表示了采用該組工藝參數在矩形板料上用ls-dyna3D進行數值模擬所得到的29.1s時的位移場，可以看出板料成形了規則、圓滑的圓弧面。
圖3 用ls-dyna3D進行數值模擬得到的位移場
4.2 實驗對比
圖4中為采用漸進式激光三維成形所得到的工件,上為弧面件，下為多面體形件，從圖中弧面件可以看出，成形區的曲面形狀非常圓滑，在一定程度上表明了激光彎曲成形對三維曲面的擬合能力。對按優化的工藝參數所加工的工件的實測表明，弧面件變形區弦長的有限元計算值與實測值的相對誤差為-6.5%，弓形高的相對誤差為14%。誤差的產生可能出于以下原因：材料高溫時的熱學性能和力學性能參數取得不準確；激光掃描時材料的熱吸收率可能是隨溫度變化而變化的，由于熱吸收率的變化規律無資料可查，在計算時按恒量進行了選取；實際工況與計算工況不一致的其它原因。但是，我們仍有理由相信，通過對復雜幾何形狀的幾何相關性分析，以及對激光成形形狀的進一步準確控制，激光成形完全可以更精確地成形更為復雜的三維形狀。
圖4 激光成形三維曲面形狀
5 結論
（1） 將曲面筒形件的激光成形視為V形彎曲變形的復合，并量化了其幾何相關性。當激光掃描間距大于變形區寬度時，則形成多面體筒形件，小于或等于該寬度時則形成光滑曲面的筒形件。
（2） 用變形區中特征點的坐標表示了變形區的曲率，并將曲率半徑作為優化目標，用有限元軟件結合遺傳算法，求出了用寬度為50mm厚為2mm的08F鋼板成形半徑為600mm的弧面的工藝參數，解決了給定變形量設計工藝參數的難題。
（3） 按照選定的工藝參數進行了實際加工，制作出了表面光滑的弧面件，變形區弦長及弓形高的計算值與實測值的相對誤差分別為-6.5%和14%，在數值模擬及實驗兩方面表現了激光彎曲對三維曲面的擬合能力。
（4） 該方法可以推廣到S形工件甚至更復雜工件的成形中。
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